Produit mixte:
$$\operatorname{det} (\vec u,\vec v,\vec w)={{\vec u.(\vec v\wedge\vec w)}}$$
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Volume:
$$|\operatorname{det} (\vec u,\vec v,\vec w)|={{V(\vec u,\vec v,\vec w)}}$$
\(\to\) Si \((\vec u,\vec v,\vec w)\) sont coplanaire: \(\operatorname{det} (\vec u,\vec v,\vec w)=0\)
Démonstration:
Soit \(\vec n=\vec u \wedge \vec w\), \(\vec n\) est normale au plan (\(\vec u, \vec w\))
Or \(\vec u.\vec n=||\vec u||.||\vec n||.cos(\widehat{\vec u,\vec v}=\varphi)\)
Et \(||\vec u||.cos\varphi\) est lahauteur du parralélogramme \((\vec v\vec u\vec w)\)
Alors, \(V={{S_{\vec v,\vec w}.h=||\vec n||.h}}\)
